虚数とは何ですか?

2021-06-15
ルネサンスの数学者は、虚数のアイデアを最初に思いついた。imagestockdesign / shutterstock

ダン・ブラウンの2003年のメガベストセラーのミステリースリラー「ダ・ヴィンチ・コード」では、本の主人公であるロバート・ラングドンと暗号学者のソフィー・ヌヴーの間で、本の中で少しの再会があります。奇跡的な出来事を含む信仰。彼らの現実は間違っているようだ」と彼女は嘲笑する。

ラングドンは笑い、それらの信念は「虚数「i」を信じる数学的暗号学者の信念と同じように偽物ではない」と述べています。

数学的に傾いていない私たちにとって、ラングドンのジョークは少し不可解でした。が虚数であると彼が言うとき、彼は一体何について話しているのですか?どうしてそうなの?

しかし、実は、虚数(基本的に、2乗すると負の数になる数)は、実際には数学の問題であり、特定の厄介な方程式を解く方法として1400年代と1500年代に最初に発見されました。当初は一種のパーラートリックと考えられていましたが、それ以来何世紀にもわたって、複雑な方法で世界を概念化するためのツールと見なされるようになり、今日では電気工学から量子力学に至るまでの分野で役立ちます。

「負の数を発明したのと同じ理由で、虚数を発明しました」とクリストファー・ムーアは説明します。彼はニューメキシコの独立した研究機関であるサンタフェインスティテュートの物理学者であり、2011年の本「TheNatureofComputation」共著者であるStephanMertensと共著しています。

「通常の算術から始めてください」とムーアは続けます。「2マイナス7とは何ですか?負の数を聞いたことがない場合、それは意味がありません。答えはありません。負の5つのリンゴを持つことはできませんよね?しかし、このように考えてください。あなたは私に借りがあるかもしれません。リンゴ5個、つまり5ドル。人々が会計と簿記を始めたら、その概念が必要でした。」同様に、今日、私たちは物事を支払うために大きな小切手を書くが、それらをカバーするのに十分なお金がない場合、銀行口座の残高がマイナスになる可能性があるという考えに精通しています。

創造的思考は大いに役立つ

負の数を見る別の方法—そしてこれは後で役に立ちます—は、街の近所を歩き回ることを考えることです、とムーアは言います。目的地から間違った方向に曲がり、反対方向に曲がった場合、たとえば、北に行くべきだったときに南に5ブロック進むと、北に5ブロック歩くと考えることができます。

「負の数を発明することによって、それはあなたの数学的宇宙を拡大し、あなたが以前は困難であったことについて話すことを可能にします」とムーアは言います。

虚数と複素数、つまり虚数を含む数は、この種の創造的思考のもう1つの例です。ムーアが説明しているように、「9の平方根は何ですか、それは簡単ですよね?答えは3ですが、負の3になることもあります」。これは、 2つの負の数掛けると正の数になるためです。

しかし、負の平方根は何ですか?それ自体を掛けると、負の数になる数はありますか?「あるレベルでは、そのような数はありません」とムーアは言います。

しかし、ルネッサンスの数学者はその問題を巧妙に回避する方法を考え出しました。 「私たちが負の数を発明する前は、2マイナス7のような数はありませんでした」とムーアは続けます。 「それで、負の数の平方根である数を発明する必要があるかもしれません。それに名前を付けましょう。i。

彼らが虚数の概念を思いついたとき、数学者は彼らがそれでいくつかの本当にクールなことをすることができることを発見しました。正の数に負の数を掛けると負の数になりますが、2つの負の数に互いに掛け合わせると正の数になります。しかし、iに7を掛け始めてから、もう一度iを掛けるとどうなりますか?ので、私の時間、私は否定的です、答えは7負です。しかし、あなたの乗算7回ならば、私私は、突然、あなたは正の7を取得します。 「彼らはお互いを打ち消し合う」とムーアは指摘する。

今それについて考えてください。あなたは虚数を取り、それを方程式に複数回差し込んで、現実の世界で一般的に使用する実際の数になりました。

虚数は平面上の点です

それは数学者は平面上の点としてそれらを考えることによって、理解虚数の別の方法を発見したこと、1800年代初頭には、数百年後までではなかった、説明マーク・レヴィ。彼はペンシルベニア州立大学の教授兼数学科の責任者であり、2012年の著書「猫が足に着地する理由:そして76のその他の物理的パラドックスとパズル」の著者です

数を線上の点と考え、2番目の次元を追加すると、「その平面上の点は虚数です」と彼は言います。

数直線を想像してください。負の数について考えるとき、それは線上の正の数から180度離れています。「2つの負の数を掛けると、180度と180度の角度が加算され、360度になります。そのため、正の数になります」とLevi氏は説明します。

Y軸は、X軸に-1の平方根を置くことができないため、虚数について考えるときに役立ちます。

ただし、負の平方根をX軸のどこにも配置することはできません。それはうまくいきません。ただし、Xに垂直なY軸を作成すると、それを配置する場所ができます。

虚数は数学的なまばゆいばかりのように見えますが、実際には、飛行機の翼上の空気の流れを計算たり、エネルギーの流出を計算たりするなど、現代の技術世界における特定の重要な計算に非常に役立ちます。電気システムの振動と組み合わされた抵抗から。そして、架空のロバート・ラングドンは、暗号化にも使用されていると述べたとき、私たちの足を引っ張っていませんでした

虚数成分を含む複素数は、理論物理学でも役立ちます、とロスアラモス国立研究所で量子コンピューティングアルゴリズムに取り組んでいる物理学者のRolandoSommaは説明します。

「三角関数との関係があるため、たとえば周期関数を記述するのに役立ちます」とSomma氏は電子メールで述べています。「これらは波動方程式の解として生じるため、電磁波などのさまざまな波を表すために複素数を使用します。したがって、数学の場合と同様に、物理学における複素数計算は計算を単純化するための非常に便利なツールです。」

複素数は、原子や亜原子粒子のスケールで自然の振る舞いを説明する理論である量子力学でも役割を果たします。

「量子力学では、「i」はシュレディンガー方程式に明示的に現れます」とソンマは説明します。「したがって、複素数は、単に有用な計算ツールとして機能するのではなく、量子力学においてより基本的な役割を果たしているように見えます。」

「量子系の状態はその波動関数によって記述されます」と彼は続けます。「シュレディンガー方程式の解として、この波動関数は特定の状態の重ね合わせであり、重ね合わせに現れる数は複雑です。たとえば、量子物理学における干渉現象は、複素数を使用して簡単に説明できます。」

今それは興味深いです

虚数は、トマス・ピンチョンの小説2012で言及されている「デイ反対。」

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