Como Usar o Círculo de Unidade em Trig

2021-05-01
Um círculo unitário pode ser usado para definir relações de triângulo retângulo conhecidas como seno, cosseno e tangente. © 2021

Você provavelmente tem uma ideia intuitiva do que é um círculo : a forma de uma cesta de basquete, uma roda ou uma moeda. Você pode até se lembrar do colégio que o raio é qualquer linha reta que começa no centro do círculo e termina em seu perímetro.

Fig. 1. Um círculo unitário. Raio = 1.

Um círculo unitário é apenas um círculo com um raio de comprimento 1. Mas, frequentemente, ele vem com alguns outros sinos e apitos.

Um círculo unitário pode ser usado para definir relações de triângulo retângulo conhecidas como seno, cosseno e tangente. Essas relações descrevem como os ângulos e os lados de um triângulo retângulo se relacionam. Digamos, por exemplo, que temos um triângulo retângulo com um ângulo de 30 graus e cujo lado mais longo, ou hipotenusa, tem um comprimento de 7. Podemos usar nossas relações predefinidas de triângulo retângulo para descobrir os comprimentos dos dois lados restantes do triângulo .

Esse ramo da matemática, conhecido como trigonometria , tem aplicações práticas cotidianas, como construção, GPS, encanamento, videogame, engenharia, carpintaria e navegação aérea.

Para memorizar um círculo unitário padrão, precisamos ser capazes de lembrar três componentes principais:

  1. Quatro quadrantes
  2. 16 ângulos
  3. (x, y) coordenadas para cada um dos 16 ângulos, onde o raio toca o perímetro do círculo

Para nos ajudar, vamos relembrar uma viagem ao Unit Pizza Palace. Reserve alguns momentos para memorizar o seguinte até que possa recitá-lo sem olhar:

  • 4 fatias de pizza
  • 3 tortas por $ 6
  • 2 mesas quadradas
  • 1 , 2, 3

Etapa 1: 4 fatias de pizza

Imagine uma pizza inteira, cortada em quatro fatias iguais. Em matemática, chamaríamos essas quatro partes dos quadrantes do círculo .

Fig. 2. Círculo unitário com quadrantes adicionados. O quadrante 1 está no canto superior direito, o quadrante 2 no canto superior esquerdo, o quadrante 3 está no canto inferior esquerdo e o quadrante 4 está no canto inferior direito.

Podemos usar as coordenadas (x, y) para descrever qualquer ponto ao longo da borda externa do círculo. A coordenada x representa a distância percorrida para a esquerda ou direita do centro. A coordenada y representa a distância percorrida para cima ou para baixo. A coordenada x é o cosseno do ângulo formado pelo ponto, a origem e o eixo x. A coordenada y é o seno do ângulo.

Em um círculo unitário, uma linha reta viajando para a direita do centro do círculo alcançará a borda do círculo na coordenada (1, 0). Se, em vez disso, formos para cima, para a esquerda ou para baixo, tocaremos o perímetro em (0, 1), (-1, 0) ou (0, -1), respectivamente.

Todos os quatro ângulos associados (em radianos, não em graus) têm um denominador de 2. (Um radiano é o ângulo feito ao pegar o raio e envolvê-lo em um círculo. Um grau mede os ângulos pela distância percorrida. Um círculo tem 360 graus ou 2π radianos).

Os numeradores começam em 0, começando na coordenada (1,0), e contam no sentido anti-horário por 1π. Este processo resultará em 0π / 2, 1π / 2, 2π / 2 e 3π / 2. Simplifique essas frações para obter 0, π / 2, π e 3π / 2.quad

Fig. 3. Círculo unitário com quatro ângulos associados em radianos

Etapa 2: 3 tortas por $ 6

Comece com "3 tortas". Dê uma olhada no eixo y. Os ângulos radianos diretamente à direita e à esquerda do eixo y têm um denominador de 3. Cada ângulo restante tem um numerador que inclui o valor matemático pi, escrito como π.

"3 tortas por 6" é usado para lembrar os 12 ângulos restantes em um círculo unitário padrão, com três ângulos em cada quadrante. Cada um desses ângulos é escrito como uma fração.

O "por $ 6" é para nos lembrar que, em cada quadrante, os denominadores restantes são 4 e 6.

A parte mais complicada desta etapa é completar o numerador para cada fração.

No quadrante 2 (quarto superior esquerdo do círculo), coloque 2, 3 e 5 na frente de π.

Fig. 4. Círculo unitário com todos os denominadores concluídos e alguns numeradores preenchidos (no quadrante 2)

Seu primeiro ângulo no quadrante 2 será 2π / 3. Somando o 2 no numerador e o 3 no denominador resultará em 5. Observe o ângulo reto no quadrante 4 (quarto inferior direito do círculo). Coloque este 5 no numerador antes de π. Repita esse processo para os outros dois ângulos nos quadrantes 2 e 4.

Repetiremos o mesmo processo para os quadrantes 1 (canto superior direito) e 3 (canto inferior esquerdo). Lembre-se, assim como x é igual a 1x, π é igual a 1π. Portanto, estamos adicionando 1 a todos os denominadores no quadrante 1.

Fig. 5. Círculo unitário com todos os denominadores preenchidos e numeradores preenchidos

O processo para listar ângulos em graus (em vez de radianos) é descrito no final deste artigo.

Etapa 3: 2 mesas quadradas

O "2" em "2 tabelas quadradas" é para nos lembrar que todos os 12 pares de coordenadas restantes têm um denominador de 2.

"Quadrado" é para nos lembrar que o numerador de cada coordenada inclui uma raiz quadrada. Estamos apenas começando com o quadrante 1 para simplificar as coisas. (Dica: lembre-se de que a raiz quadrada de 1 é 1, então essas frações podem ser simplificadas para apenas 1/2.)

Fig. 6. Quadrante 1 preenchido.

Etapa 4: 1, 2, 3

O "1, 2, 3" nos mostra a sucessão de números sob cada raiz quadrada. Para as coordenadas x do quadrante 1, contamos de 1 a 3, começando na coordenada superior e descendo.

Fig. 7. Quadrante 1 do círculo unitário com coordenadas concluídas

As coordenadas y têm os mesmos numeradores, mas contam de 1 a 3 na direção oposta, de baixo para cima.

O quadrante 2 tem as mesmas coordenadas do quadrante 1, mas as coordenadas x são negativas.

O quadrante 3 muda as coordenadas xey do quadrante 1. Todas as coordenadas xey também são negativas.

Como o quadrante 3, o quadrante 4 também muda as coordenadas xey do quadrante 1. Mas apenas as coordenadas y são negativas.

Fig. 8. Círculo unitário com coordenadas em todos os quadrantes concluídos

Ângulos em graus

Você pode querer fazer referência aos ângulos em graus em vez de radianos. Para fazer isso, comece em 0 graus na coordenada (1,0). A partir daí, adicionaremos 30, 15, 15 e, em seguida, 30. No quadrante 1, adicionamos 30 a 0 para obter 30, adicionamos 15 a 30 para obter 45, adicionamos 15 a 45 para obter 60 e adicionamos 30 a 60 para obter 90

Fig. 9. Círculo unitário com ângulos em graus no quadrante 1

Em seguida, repetimos o processo para os quadrantes restantes, adicionando 30, 15, 15 e 30 até chegarmos ao final do círculo. Portanto, o quadrante 4 terá ângulos que variam de 270 a 330 graus (consulte a figura 10).

Colocando em prática

No início do artigo, mencionamos que um círculo unitário pode ser usado para encontrar dois lados desconhecidos de um triângulo retângulo com um ângulo de 30 graus e cujo lado mais longo, ou hipotenusa, tem um comprimento de 7. Vamos tentar.

Observe onde 30 ° está no círculo unitário. Use essa linha e o eixo x para criar um triângulo da seguinte maneira.

Fig. 10. Usando o círculo unitário para encontrar dois lados desconhecidos de um triângulo retângulo com um ângulo de 30 graus
Fig. 11

Em um círculo unitário, qualquer linha que começa no centro do círculo e termina em seu perímetro terá um comprimento de 1. Portanto, o lado mais longo deste triângulo terá um comprimento de 1. O lado mais longo de um triângulo retângulo é também conhecida como "hipotenusa". O ponto onde a hipotenusa toca o perímetro do círculo está em √3 / 2, 1/2.

Portanto, sabemos que a base do triângulo (no eixo x) tem um comprimento de √3 / 2 e a altura do triângulo é 1/2.

Outra maneira de pensar sobre isso é que a base tem √3 / 2 vezes o comprimento da hipotenusa e a altura é 1/2 vezes o comprimento da hipotenusa.

Portanto, se, em vez disso, a hipotenusa tiver um comprimento de 7, nossa base de triângulo será 7 x √3 / 2 = 7√3 / 2. A altura do triângulo terá um comprimento de 7 x 1/2 = 7/2.

Agora isso é interessante

Acredita-se que a trigonometria tenha sido desenvolvida originalmente no século 1 aC para compreender a astronomia, o estudo das estrelas e o sistema solar. Ele ainda é usado na exploração do espaço por empresas como a NASA e empresas privadas de transporte espacial.

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